MATEMÁTICA PARA TODOS: 28/6/09

El número de oro ( fi )

Quisiera que conozcan y se interesen por un número muy especial, conocido como el número de oro y representado con la letra fi del alfabeto griego que es la inicial del escultor griego Fidias, quien lo tuvo muy presente en sus obras.

Este número, además se conoce como la proporción áurea y está ligado a la naturaleza, al arte, al ser humano, a los animales. Aparece en:

El crecimiento de las plantas.
En la distribución de las hojas de un tallo.
Las piñas.
En la formación de caracolas.
La reproducción de los conejos.
En las dimensiones del cuerpo humano.
En las construcciones, etc.

Su valor

El valor numérico de fi es de 1,61803398..... , es un número irracional como lo es pi , es decir, un número decimal con infinitas cifras decimales sin que exista una secuencia de repetición que lo convierta en un número periódico. Es imposible conocer todas las cifras de dicho número (al igual que pi) y sólo utilizamos unos cuantos dígitos suficientes para la mayoría de sus aplicaciones.

¿Cómo se obtiene fi ?

Hay muchas formas de obtener el valor de fi, aquí les muestro sólo dos de ellas

1. La razón áurea: Si sobre un segmento ubicamos un punto tal que la razón entre las medidas del mayor y menor segmento es igual a la razón entre las medidas del segmento total y el mayor; dicha razón es la llamada razón áurea

2. La sucesión de Fibonacci: Consideremos la siguiente sucesión de números:

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 . . . . . . . . . .

Cada número a partir del tercero se obtiene sumando los dos que le preceden (por ejemplo, 21=13+8; el siguiente a 34 será 34+21 =55). Esta sucesión es la llamada "Sucesión de Fibonacci" (Leonardo de Pisa 1170-1240). Los cocientes (razones) entre dos números de la sucesión, se aproximan más y más al número de oro (1,61803...).

3/2 = 1,5

5/3 = 1,666…

8/5 = 1,6

13/8 = 1,625

21/13 = 1,6153846153…

34/21 = 1,6190476190…

55/34 = 1,6176470588…

89/55 = 1,618181818181….

144/89 = 1,618025751072….

Ahora veamos dónde aparece también este número y algunas de sus aplicaciones, es realmente fascinante.

Rectángulo áureo

Un rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Se trata de un rectángulo armonioso en sus proporciones.

Dibujamos un cuadrado de lado 2 unidades y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo cuya medida es 1 más la raíz de 5.

Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A partir de este rectángulo podemos construir otros semejantes que, como veremos mas adelante, se han utilizando en arquitectura (Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnés, cajetillas de tabaco, etc...).

La Espiral Logarítmica

Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.

Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.

En esta imagen podemos apreciar la forma de una espiral logarítmica en la concha de un nautilus

En el Hombre

Leonardo Da Vinci realizó este dibujo para ilustrar el libro De Divina Proportione del matemático Luca Pacioli editado en 1509. En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean las del dibujo adjunto. Resulta que la relación entre la altura del hombre y la distancia desde el ombligo a la mano es el número áureo.

En el cuerpo humano el número áureo aparece en muchas medidas: la relación entre las falanges de los dedos es el número áureo, la relación entre la longitud de la cabeza y su anchura es también este número.

Fi en el arte y las construcciones

Aquí podemos apreciar cómo Leonardo Da Vinci utilizó el rectángulo áureo en su famosa pintura de la Gioconda

El número áureo ha sido utilizado desde la época de los egipcios para la construcción de edificios, si bien, son los griegos los que lo explotaron al máximo usando en todas las facetas del arte. A continuación se detallan algunos ejemplos de este uso.

Pirámide de Keops

El primer uso conocido del número áureo en la construcción aparece en la pirámide de Keops, que data del 2600 a.C.. Esta pirámide tiene cada una de sus caras formadas por dos medios triángulos áureos: la más aparente, aunque no la única, relación armónica identificable en el análisis de las proporciones de este monumento funerario en apariencia simple.

El Partenón

Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego. En la figura se puede comprobar que AB/CD= fi. Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD= fi y CD/CA= fi.

El Templo de Ceres

El Templo de Ceres en Paestum (460 a.C.) tiene su fachada construida siguiendo un sistema de triángulos áureos, al igual que los mayores templos griegos, relacionados, sobre todo, con el orden dórico.